证明：若f(x)有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)/x→0（x→0）,则在（0,1）内至少存在一点ξ,使f'(ξ)=0

题目

证明：若f(x)有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)/x→0（x→0）,则在（0,1）内至少存在一点ξ,使f''(ξ)=0

答案

f(x)有二阶导数,则f(x)一阶导数及f(x)连续可导
f(x)/x→0（x→0）则f(x)→0（x→0)
而f(x)连续,则（x→0)时,f(x)→0=f(0)=0
则f(x)/x→0（x→0）=[(f(x)-f(0))/(x-0)]→0（x→0）
即f'(0)=0
因为f(0)=f(1)=0,根据罗尔中值定理在（0,1）内至少存在一点ξ1,使f'(ξ1)=0
有因为f'(0)=f'(ξ1)=0 而f(x)一阶导数连续可导
又满足罗尔中值定理
所以在（0,ξ1）即（0,1）内至少存在一点ξ,使f''(ξ)=0