如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交BA的延长线于E，交AC于F，求证：AD2=DE•DF．

题目

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交BA的延长线于E，交AC于F，求证：AD²=DE•DF．

答案

∵BC的垂直平分线交BC于D，
∴DA=DC，∠BAC=90°
∴∠DAC=∠DCA，
又∵∠BAC=90°，∠B+∠BED=90°，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BED，
∴∠DAC=∠BED，
在△ADF和△ADE中，

∠ADF＝∠ADF ∠AED＝∠DAF

，
∴△ADF∽△ADE，
∴

AD

DE

＝

DF

AD

，
∴AD²=DE•DF．

要证明AD²=DE•DF，只需证明△ADF∽△ADF即可．

本题考点：相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．解答本题的关键在于注意掌握数形结合思想的应用．