已知F1,F2为椭圆x^2/100+y^2/64=1（0＜b＜10）的左右焦点,P是椭圆上一点.若∠F1PF2=60°,则三角形F1PF2的面积为?

题目

已知F1,F2为椭圆x^2/100+y^2/64=1（0＜b＜10）的左右焦点,P是椭圆上一点.若∠F1PF2=60°,则三角形F1PF2的面积为?

答案

由椭圆方程x²/100 +y²/64=0可知椭圆的焦点在x轴上,且a=10,b=8,c=6
则焦距|F1F2|=2c=12,且由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=20
在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,则由余弦定理可得：
|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2*|PF1|*|PF2|*cos∠F1PF2
=(|PF1|²+|PF2|)|²-2*|PF1|*|PF2|--2*|PF1|*|PF2|*cos∠F1PF2
所以144＝400－2*|PF1|*|PF2|－2*|PF1|*|PF2|*(1/2)
即3|PF1|*|PF2|=256
解得|PF1|*|PF2|=256/3
所以三角形F1PF2的面积
＝(1/2)*|PF1|*|PF2|*sin∠F1PF2
=(1/2)*(256/3)*(√3/2)
=(64√3)/3