正交矩阵是不是一定可把A化为对角阵?为什么不可以直接用特征值的特征向量 为什么非要把特征向量组单位化

题目

正交矩阵是不是一定可把A化为对角阵?为什么不可以直接用特征值的特征向量 为什么非要把特征向量组单位化
正交的特征向量组不能让他对角吗 非得单位化 不单位化会咋样

答案

1.正交矩阵是不是一定可把A化为对角阵?
不一定.当A是实对称矩阵时,A一定正交相似于对角阵.
2.为什么不可以直接用特征值的特征向量 为什么非要把特征向量组单位化
当要求正交对角化时,因为矩阵Q是正交矩阵
而Q是正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量两两正交且为单位向量
所以需要把特征向量单位化.
(若特征值是重根,还需要先把特征向量正交化)