已知△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,求证:DM=1/2AB

题目

已知△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,求证:DM=1/2AB

答案

【白天,时间充裕,给你两种证法】
证法1：
在CB的延长线上截取BE=AB,连接AE
则∠E=∠BAE
∵∠B=∠E+∠BAE=2∠E
∠B=2∠C
∴∠E=∠C
∴AE=AC,即⊿AEC是等腰三角形
∵AD⊥BC
∴DE=DC【三线合一】
∵M是BC的中点,即AM=MC
∴DC=DM+MC=DM+BM=DM+（BD+DM）=2DM+BD
∵DE=BE+BD=AB+BD
∴2DM=AB
∴DM=½AB
证法2：
取AB的中点N,连接DN,MN
∵M是BC的中点
∴MN是⊿ABC的中位线
∴MN//AC
∴∠C=∠DMN
∵AD⊥BC,即⊿ABD是直角三角形,则DN为斜边中线
∴DN=½AB=BN
∴∠B=∠NDB
∵∠B=2∠C=2∠DMN
∠NDB=∠DMN+∠DNM
∴∠DMN=∠DNM
∴DM=DN=½AB