如图,在△ABC中,∠A＝∠B＝∠C,点P为三角形内任意一点,PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,AB=a

题目

如图,在△ABC中,∠A＝∠B＝∠C,点P为三角形内任意一点,PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,AB=a
⑴求证：PD+PE+PF为定值；
⑵求出该定值.

答案

(1)证明：连接PA、PB、PC
∴△ABC的面积=△APB面积+△APC面积+△BPC面积
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB=AC=BC
过A做AG垂直于BC于G,
所以：1/2 AG·BC=1/2 (PD +PE +PF)·BC
∴PD+PE+PF=AG
而AG是等边三角形的高,是定值
所以PD+PE+PF为定值
（2）因为△ABC是等边三角形,AB=a
∴BG=1/2 a
再根据勾股定理可以计算得出：AG=√3/2