计算∮e^(y^2)dx+xdy,其中积分区域L是沿逆时针方向的椭圆4x^2+y^2=8x.

题目

计算∮e^(y^2)dx+xdy,其中积分区域L是沿逆时针方向的椭圆4x^2+y^2=8x.

答案

下午来 .
椭圆4x^2+y^2=8x化为4(x-1)^2+y^2=4,令x-1=cost,y=2sint,代入得：
∮e^(y^2)dx+xdy=∫[0,2π] {e^(4(sint)^2)*(-sint)+(1+cost)2cost}dt
对第一个积分∫[0,2π] {e^(4(sint)^2)*(-sint)dt,做代换z=t-π,代入后积分区间为[-π,π]
被积函数为奇函数,故积分为0.
所以：∮e^(y^2)dx+xdy=2∫[0,2π] (cost+(1+cos2t)/2}dt=2π