如图 在三角形ABC中 BC等于10 P是BC上一点,PE平行AC PE平行AB,分别交AB,AC于E,F,求使平行四边形AEPF面积最大时点P的位置

题目

如图 在三角形ABC中 BC等于10 P是BC上一点,PE平行AC PE平行AB,分别交AB,AC于E,F,求使平行四边形AEPF面积最大时点P的位置

答案

设BP=x ,则 PC=10-x ,由PE平行于AC得 EBP∽ ABC,得 S EBP：S ABC=(x/10)^2 ,S EBP=(x^2/100)S ABC； 同理S FPC=（10-x)^2/100·S ABC ,于是S平行四边形AEPF=S ABC-(x^2/100)S ABC-（10-x)^2/100·S ABC 化简得 S平行四边形AEPF=-S ABC/50（x-5^2+S ABC/2 .当x=5 ,即P点为BC的中点时,平行四边形的面积最大,为三角形面积的一半.