复数z1,z2属于c,z1的绝对值=z2的绝对值=1,2z1-z2的绝对值=√5,则z1+z2的绝对值为—

题目

复数z1,z2属于c,z1的绝对值=z2的绝对值=1,2z1-z2的绝对值=√5,则z1+z2的绝对值为—

答案

注意到任意一个复数的模的平方等于它本身与它的共轭复数之积, 故若记w_1,w_2分别为z_1,z_2的共轭复数,则
z_1w_1=z_2w_2=1
由于2z_1-z_2的共轭复数为2w_1-w_2, 故
5=|2z_1-z_2|^2=(2z_1-z_2)(2w_1-w_2)=4-2(z_2w_1+z_1w_2)+1
得
z_2w_1+z_1w_2=0
进而
|z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)(w_1+w_2)=1+(z_2w_1+z_1w_2)+1=2
即
|z_1+z_2|=√2