已知x，y，z∈Z，且满足x+y+z=3，x3+y3+z3=3，求x2+y2+z2所有可能的值组成的集合．

题目

已知x，y，z∈Z，且满足x+y+z=3，x³+y³+z³=3，求x²+y²+z²所有可能的值组成的集合．

答案

设x²+y²+z²=t，则
∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz），
即9=t+2（xy+yz+xz），
∴xy+yz+xz=

9−t

2

，
∵x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），
∴3-3xyz=3（t-

9−t

2

），
∴xyz=

11−3t

2

，
∵x，y，z∈Z，t＞0，
∴t=1，3，
∴x²+y²+z²所有可能的值组成的集合为{1，3}．