如图，半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点． （1）求证：PA•PB=PC•PD； （2）若AB=8，CD=6，求OP的长．

题目

如图，半径为2

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的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．

（1）求证：PA•PB=PC•PD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的长．

答案

（1）连接AD，BC，∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A=∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴APCP＝PDPB，∴PA•PB=PC•PD；（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，由垂径定理得：OM2=（25）2-42=4，ON2=（25）2-32=11...

（1）连接AD，BC，易证Rt△APD∽Rt△CPB，根据相似三角形的性质，可以证得．
（2）先求出OM，ON，进而证得四边形OMPN是矩形，所以OP=PM，利用勾股定理可以求出OP．

本题考点：圆心角、弧、弦的关系；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题给出了圆中的两条相交弦，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r²=d²+（

a

2

）²成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．