四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形,PC⊥底面ABCD,且PC＝a,E是PA的中点,∠ABC＝60°

题目

四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形,PC⊥底面ABCD,且PC＝a,E是PA的中点,∠ABC＝60°
（1）.求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）.求点E到平面PBC的距离；
（3）.求二面角A-BE-D的平面角的正切值

答案

(1)证明：连结AC,BD,设交于点O,连结EO
ABCD为菱形,故AC⊥BD,且O为AC,BD的中点
又E为PA的中点
故EO//PC
而PC⊥平面ABCD
故EO⊥平面ABCD
EO∈平面EDB
故平面EDB⊥平面ABCD
(2)用体积法求距离,设距离为h,则：
VE-PBC=S三角形PBC*h/3=(a*a/2*h)/3= a^2h/6
=VP-ABC-VE-ABC
=S三角形ABC*PC/3-S三角形ABC*EO/3
=S三角形ABC（PC-EO)/3
=[1/2*a*a*sin60*(a-a/2)]/3
=√3a^3/24
a^2h/6=√3a^3/24
h=√3a/4
(3)过点A作AF⊥BE,连结OF
AC⊥BE
AC∩AF=A
BE⊥平面AOF
OF∈平面AOF内
故BE⊥OF
即二面角AFO即为所求的平面角
又AC⊥平面BED,OF∈平面BED内
故AC⊥OF
AB=a,OA=a/2,OB=√3a/2
EO=a/2,BE=a
EO/OF=BE/OB
OF=√3a/4
tan∠AFO=OA/OF
=(a/2)/(√3a/4)
=2√3/3