在三维向量空间中,起点位于原点,终点位于给定平面上的所有向量是否构成三维向量空间的子空间?

题目

在三维向量空间中,起点位于原点,终点位于给定平面上的所有向量是否构成三维向量空间的子空间?
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答案

该向量的集合可记为{（x,y,z）T|Ax+By+Cz+D=0}
任取A1=（x1,y1,z1)A2=(x2,y2,z2) ,则有Ax1+By1+Cz1+D=0,Ax2+By2+Cz2+D=0
将两个等式相加得A(x1+x2)+B(y1+y2)+C(z1+z2)+2D=0 由此可知,若D不等于0,则A1+A2不满足该集合,即该集合不满足加法的封闭性.若D=0,则满足加法封闭性.在这种情况下证明乘法的封闭性：取任意的实数k,由Ax1+By1+Cz1=0得kAx1+kBy1+kCz1=0,也即Akx1+Bky1+Ckz1=0,所以kx1满足该等式,即该集合满足乘法封闭性.
综上,若D=0,则可构成子空间；若否,则不可.