设n阶可逆矩阵A中每行之和元素为常数a,证明A^(-1)的每行元素之和为a^(-1)

题目

设n阶可逆矩阵A中每行之和元素为常数a,证明A^(-1)的每行元素之和为a^(-1)

答案

证明：
令列向量x=（1 1.1)^-1
则由题意可知Ax=（a a.a)^-1
上式两边同乘A^-1可得
x=A^(-1)*(a a……a)^-1,两边同除a得
（1/a)x=A^(-1)(1 1.1)^(-1)
积（1/a 1/a.1/a)=A^(-1)(1 1.1)^(-1)
所以A^-1的每行元素之和为1/a
证毕