已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.P是AB上的点,则点P到AC,BC的距离的积的最大值是( ) A.2 B.3 C.332 D.32
题目
已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.P是AB上的点,则点P到AC,BC的距离的积的最大值是( )
A. 2
B. 3
C.
D.
3
答案
如图:作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.设PM=x.
因为三角形是直角三角形,显然△AMP∽△ACB,所以
=可得:
=,
所以AM=
,MC=4-
.
所以PN=4-
.
PM•PN=x(4-
)
=
x(3-x)
=
(-x
2+3x)
=-
(x-
)
2+3.
由二次函数知识,当x=
时(此时点P是AB的中点),PM•PN有最大值3
答:P到AC,BC的距离乘积的最大值是3.
故选B.
由题意画出三角形ABC,作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.设PM=x,通过三角形相似,求出PM,PN,即可推出点P到AC,BC的距离的积的表达式,利用二次函数求出乘积的最大值.
解三角形.
正确利用辅助线,三角形的相似得到乘积的表达式,利用二次函数的最值是解题的关键,本题也可以利用解析几何的解析法解答.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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