复变函数（留数的计算）

题目

复变函数（留数的计算）
计算积分∮tanπzdz,c为正向圆周,z的绝对值等于1,为什么他的极点是z=1/2和z＝－1／2?而不是0呢?

答案

由于被积函数f(z)=tanπz=sinπz/cosπz的奇点是分母等于0的点,而使分母cosπz=0又在c:|z|=1内的点只有l两个点：
z=1/2和z=-1/2；再根据孤立奇点的分类判定可知：z=1/2和z=-1/2是被积函数f(z)=tanπz的一级极点.
利用一级极点求留数的方法可以知道：
Res(tanπz,1/2)=- sin(π/2)/[πsin(π/2)]=-1/π；
Res(tanπz,-1/2)=- sin(-π/2)/[πsin(-π/2)]=-1/π；
因此利用留数基本定理可知：
∮tanπzdz=2πi [Res(tanπz,1/2)+Res(tanπz,-1/2)]
=2πi [-1/π+(-1/π)]
=-4i.
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