如图,在正方形ABCD中,AD=12,点E在CD上,DE=4,AE的垂直平分线EP分别交AD,AE,BC于点F,H,G,交AB的延长线于点于点P,求FH:HG的值.

题目

如图,在正方形ABCD中,AD=12,点E在CD上,DE=4,AE的垂直平分线EP分别交AD,AE,BC于点F,H,G,交AB的延长线于点于点P,求FH:HG的值.

答案

DE=m时
通过构建相似三角形来求解,过点H作MN∥AB,分别交AD,BC于M,N两点．那么MH就是三角形ADE的中位线,MH= 1/2m,那么HN=12- 1/2m,只要证出两三角形相似,就可表示出FH：HG的值,已知了一组对顶角,一组直角,那么两三角形就相似,FH：HG=MH：NH,也就能得到所求的值．
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过点H作MN∥AB,分别交AD,BC于M,N两点,
∵FP是线段AE的垂直平分线,
∴AH=EH,
∵MH∥DE,
∴Rt△AHM∽Rt△AED,
∴ AM/MD= AH/HE=1,
∴AM=MD,即点M是AD的中点,
∴AM=MD=6,
∴MH是△ADE的中位线,MH= 1/2DE= 1/2m,
∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形ABNM是矩形,
∵MN=AD=12,
∴HN=MN-MH=12- 1/2m,
∵AD∥BC,
∴Rt△FMH∽Rt△GNH,
∴ FH/GH=MH/NH=(1/2m)/(12-1/2m),
即 FHHG=m/(24-m)（0＜m＜12）；