设群G的阶数为素数P.（1）证明：G为循环群（2）找出G的所有生成元

题目

设群G的阶数为素数P.（1）证明：G为循环群（2）找出G的所有生成元

答案

（1）
任取G的一个不为单位元的元素a,考查由a生成的子群.
这是一个循环群,且为G的子群.
由Lagrange定理,这个群的阶数整除P,而显然不是平凡群（因为a不是单位元）,而P为素数,故的阶数只能为P.
那么其实就是整个群G.从而G为循环群.
（2）
由上面证明看出,任何一个不为单位元的元素都是G的生成元.
不懂可以再问~