若x属于[1/27,9],求函数y=log(x/27)*logx的最小值和最大值

题目

若x属于[1/27,9],求函数y=log(x/27)*logx的最小值和最大值

答案

说明：logx表示以10为底的对数.
原式＝y=
(logx-log27)*logx=(logx)^2-(Log27)*(logx)
令t=logx.则上式为y=t^2-(log27)*t
知当t=(1/2)*(log27)时取得最小值
即logx=(log27)/2=log(根号27）
得x=根号27＝3*根号3.
此值在[1/27,9]内.
故最小值为y0=-[(log27)^2]/4
又在[1/27,3*根号3〕,y 单调减少,
在[3*根号3,9〕,y 单调增加.
故计算x=9时得
y1 =-2*(log3)^2.
当x=1/27时,
y2=2*[(log27)^2]=2*[(3*log3)^2]
=18*(log3)^2.
比较,知y2>y1.即知当x=1/27时有最大值,
且为 y2=18*(log3)^2.