设f(x+1)=-f(x)对于x属于R恒成立,则函数y=f(x)的周期为2

题目

设f(x+1)=-f(x)对于x属于R恒成立,则函数y=f(x)的周期为2
若函数y=f(x)的周期为3,则函数y=f(2x)的周期为6
哪句话是正确的?错的和对的轻说明下理由.

答案

所谓周期函数其他的不需多懂,只要记住
f(x+T)=f(x) 那么f(x）就是周期函数,且周期为T
先来分析第一句话,因为f(x+1)=-f(x)对于x属于R恒成立,先把x+2看成（x+1）+1
即x+2=(x+1)+1
那么就有f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)
进而又由f(x+1)=-f(x)得-f(x+1)=f(x)
总结即是f(x+2)=f(x) 很明显是周期函数 且周期为2
再来分析第二句话,这个有点难度,因为你需要知道周期函数是只对X来说的,具体而言就是
假设y=f(2x)是周期函数,即f(2x)=f(2x+T)但是它的周期是T/2,也就是说要把
f(2x)=f(2x+T)变形成为具体对单个X而言的函数即f(2x)=f(2x+T)=f[2(x+T/2)]则对x而言周期为T/2
则回到原题函数y=f(x)的周期为3,那么
f(2x+3)=f(2x) 则 f(2x+3)=f[2(x+3/2)]
所以周期为1.5而非6
最后一个问题有书面语言解释起来很繁琐,
还有问题留言给我,希望能帮助你解决困惑