在平面直角坐标系xoy中,点P到两点(0,负根号3),（0,根号3）的距离之和等于4,设点P轨迹为C

题目

在平面直角坐标系xoy中,点P到两点(0,负根号3),（0,根号3）的距离之和等于4,设点P轨迹为C
（1）写出C的方程
（2）设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,向量OA垂直于向量OB?
(3)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有OA>OB
各位哥哥姐姐们,前两题都OK,主要是第三题的证明,搜索了很久,就是没有第三小题的证明.

答案

第三问证明如下：
由第一问易得:
点P的轨迹方程为：x^2+y^2/4=1,是焦点在y轴上的椭圆；
直线y=kx+1过定点（0,1）.
设A(X1,Y1),B(X2,Y2),
由题设,X1>0,k>0,则必有X2|OB |只要证|OA|^2>|OB |^2即可
|OA|^2-|OB |^2
=|向量OA|^2-|向量OB |^2
=（向量OA+向量OB ）*（向量OA-向量OB ）
=（X1+X2,Y1+Y2）*（X1-X2,Y1-Y2）
=X1^2-X2^2+Y1^2-Y2^2
=X1^2-X2^2+4-4X1^2-4+4X2^2(点在椭圆上）
=-3（X1^2-X2^2）
=-3（X1+X2）*（X1-X2）
X1>0,则X20
又由上知道X1+X2=-2k/(4+k^2)
而已知k>0,所以X1+X20
所以|OA|^2>|OB |^2
所以|OA|>|OB |
问题得证.
你说第一问第二问没问题,我也就实实在在没解第一第二问,只证了第三问.供你参考
其实后来想想,完全可以不用向量来解,只要用个两点间的距离公式就可以.那样也很简单.