在等腰梯形ABCD中,CD平行AB,对角线AC.BD相交于点O,∠ACD=60度,点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点.

题目

在等腰梯形ABCD中,CD平行AB,对角线AC.BD相交于点O,∠ACD=60度,点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点.
（1）求证：△PQS是等腰三角形；（2）若AB=5,CD=3.求△PQS的面积；（3）若△PQS的面积与△AOD的面积比是7：8,假设梯形上,下两底CD=a,AB=b（b＞a） ,求a：b的值.（A在梯形左下,B在右下,C在右上,D在左上）

答案

1.由已知可得OAB与OCD都是等边三角形,连接CS和BP可知,CS垂直于BD,BP垂直于AC,所以在直角三角形BSC中,SQ是斜边BC上的中线,所以SQ=BC/2,同理可得PQ=BC/2,又PS是三角形OAD的中位线,所以PS=AD/2
又因为等腰梯形AD=BC,所以SQ=PS=PQ,即三角形PQS为等边三角形
2.由已知得,AB=OA=OB=5,CD=OC=OD=3,又角BOC=120度,由余弦定理得BC=7,所以等边三角形PQS的边长为7/2,则其面积S=49根号3/16
3.设CD=x,AB=y,由第二问三角形PQS的面积可表示为
[根号3(a^2+ab+b^2)]/16,三角形OAD的面积可表示为(根号3ab)/4,
它们的比为7:8,化简得
2a^2-5ab+2b^2=0
解得,a/b=1/2或a/b=2/1