求函数g(x)=x2+2x+3/x+1在[1,2]上的值域

题目

求函数g(x)=x2+2x+3/x+1在[1,2]上的值域

答案

g(x)=(x^2+2x+3)/(x+1)=[(x+1)^2+2]/(x+1)=(x+1)+2/(x+1)
因为x∈[1,2]
那么x+1＞0
故g(x)=(x+1)+2/(x+1)≥2√[(x+1)*2/(x+1)]=2√2
当且仅当x+1=2/(x+1)即x=√2-1时取的最小值
因为x∈[1,2],所以显然这个最小值取不到
根据双钩函数的特点,在定点右边是增函数
即在[1,2]上是增函数
所以g(x)的最小值是g(1)=3,最大值是g(2)=11/3
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