设函数f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x. (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)证明f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.

设函数f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x. (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)证明f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.

题目
设函数f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x.
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)证明f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
答案
(Ⅰ)设x<0,则-x>0
∴f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x
又∵f(x)在R上为奇函数
∴f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x
∴f(x)=
x2+4x,x≥0
x2+4x,x<0

(Ⅱ)证明:当x>0时,f(x)=x2+4x,则f′(x)=2x+4>0
∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
(Ⅰ)先设 x<0,则-x>0,利用x≥0时的解析式,根据奇偶性就可求出f(x)的解析式;
(Ⅱ)求导函数,利用导数大于0,即可得到结论.

奇偶性与单调性的综合.

本题考查利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式,考查函数的单调性,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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