设函数f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+4x． （Ⅰ）求f（x）的表达式； （Ⅱ）证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

题目

设函数f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²+4x．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

答案

（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
又∵f（x）在R上为奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x
∴f（x）=

x2+4x，x≥0 −x2+4x，x＜0

；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，f（x）=x²+4x，则f′（x）=2x+4＞0
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

（Ⅰ）先设 x＜0，则-x＞0，利用x≥0时的解析式，根据奇偶性就可求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，利用导数大于0，即可得到结论．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题考查利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式，考查函数的单调性，属于中档题．