垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线l与曲线f(x)及y轴所围成的图形的面积是_.
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垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线l与曲线f(x)及y轴所围成的图形的面积是_.
题目
垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f(x)=x
3
+3x
2
-1相切的直线l与曲线f(x)及y轴所围成的图形的面积是______.
答案
设直线l的方程为y=-3x+m,切点为(n,n
3
+3n
2
-1),
则由题意可得3n
2
+6n=-3,∴n=-1,
故切点为(-1,1),代入切线方程 y=-3x+m可得m=-2,
直线l的方程为y=-3x-2,
∴直线l与曲线f(x)及y轴所围成的图形的面积是
∫
0
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