正方形ABCD,点P在其内部,并且AP,BP,CP的比为1:2:3.求角APB?

题目

正方形ABCD,点P在其内部,并且AP,BP,CP的比为1:2:3.求角APB?
利用勾股定理解答

答案

把△APB绕B点顺时针旋转90°到△BP′C,连结PP′,运用勾股定理求出PP′的长,在△PP′C中,由勾股定理识别△PP′是直角三角形．
将△PAB绕点B顺时针旋转90°,则AB边到BC,BP边到BP′,连接PP′,则P′C＝PA∠PBP′＝90°,BP＝BP′,∴∠BP′P＝45°
又∵PA＝a,PB＝2a,则P′B＝2a．
由勾股定理,得BP2＋P′B2＝PP′2,∴PP′2＝＝8a2．
在△PP′C中,∵PC＝3a,P′C＝PA＝a,∴PP′2＋P′C2＝9a2＝PC2．
∴PP′2＋P′C2＝PC2,∴∠PP′C＝90°．
∴∠APB＝∠BP′C＝45°＋90°＝135°