第一类曲线积分问题,计算I=∮L|xy|ds,其中L为x^2/a^2+y^2/b^2=1,a>0,b>0,| |是绝对值

题目

第一类曲线积分问题,计算I=∮L|xy|ds,其中L为x^2/a^2+y^2/b^2=1,a>0,b>0,| |是绝对值

答案

由于被积函数关于x和y均是偶函数,而积分曲线关于两坐标轴均对称,因此使用两次奇偶对称性,可得：
原式=4∫ xy ds,其中积分区域L只剩第一象限部分
使用参数方程：x=acosu,y=bsinu,u：0→π/2
ds=√[(x')²+(y')²]du=√(a²sin²u+b²cos²u)du
原式=4∫ xy ds
=4ab∫[0→π/2] cosusinu√(a²sin²u+b²cos²u) du
=4ab∫[0→π/2] cosusinu√[a²sin²u+b²(1-sin²u)] du
=4ab∫[0→π/2] cosusinu√[(a²-b²)sin²u+b²] du
=4ab∫[0→π/2] sinu√[(a²-b²)sin²u+b²] d(sinu)
=2ab∫[0→π/2] √[(a²-b²)sin²u+b²] d(sin²u)
=(2/3)[2ab/(a²-b²)][(a²-b²)sin²u+b²]^(3/2) |[0→π/2]
=(4/3)ab(a³-b³)/(a²-b²)
=(4/3)ab(a²+ab+b²)/(a+b)
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