点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点,点B、C是这个圆上的两个动点,若BA垂直于CA,求BC中点M的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线

题目

点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点,点B、C是这个圆上的两个动点,若BA垂直于CA,求BC中点M的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线

答案

设BC中点P(x,y)
连接OP,AP,OB
在Rt三角形ABC中AP=PB(AP为三角形中线)
在Rt三角形OBP中R^2=PB^2+OP^2
16=x^2+(y-2)^2+x^2+y^2
整理得
x^2+y^2-2*y-6=0