若定义在[-2010,2010]上的函数f(x)满足对于任意 x1,x2,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2009,设f(x)的最大值和最大

题目

若定义在[-2010,2010]上的函数f(x)满足对于任意 x1,x2,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2009,设f(x)的最大值和最大
值分别为M、N,求M+N

答案

令x1=x2=0,有f(0)=f(0)+f(0)+2009
f(0)=-2009
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)+2009
f(x)=-f(-x)-4018
由于函数f(x)得最大值为M,所以f(-x)≤M
f(x)=-f(-x)-4018≥-M-4018
即f(x)的最小值N=-M-4018
所以,M+N=-4018.