等差数列an中,已知a1+a2+a3=9,a2+a4+a6=21.设bn=2^n*an,求数列bn的前n项和sn

题目

等差数列an中,已知a1+a2+a3=9,a2+a4+a6=21.设bn=2^n*an,求数列bn的前n项和sn

答案

由a1+a2+a3=9得3a2=9所以a2=3;由a2+a4+a6=21得3a4=21所以a4=7又因为a4=a2+2d=3+2d.所以d=2,显然可得a1=1.an=1+2(n-1)=2n-1 因此bn=2^n*an=n2^(n+1)-2^n写出前四项排成一列,左边加左边,右边加右边可以看出sn=-2+2^3+2*2^4+3*2^5+...+(n-1)2^n+n2^(n+1) 令Un=2^3+2*2^4+3*2^5+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)注意每一项与前一项的关系可想到俩边乘2来提高2的指数,2Un=2^4+2*2^5+3*2^6+...+(n-1)*2^（n+1）+n2^(n+2),俩式相减Un=-2^3-2^4-2^5+...-2^（n+1）+n*2^(n+2）=2^3*[1-2^(n-1)]+n*2^(n+2）=8+(n-1)*2^(n+2)所以sn=-2+Un=6+(n-1)*2^(n+2)