半径为R的半圆面,其重心与圆心的距离是多少?

题目

半径为R的半圆面,其重心与圆心的距离是多少?

答案

可以用简单的微积分来算
以半圆的直径为x轴,通过圆心垂直于此直径的半径为y轴建立直角坐标系.
这样可以将半圆分割成n个长为2(r^2-y^2)^1/2,宽为dy的矩形,对这些矩形的质量利用质心的定义进行计算就可以得到半圆面的质心坐标.（根据对称性可知质心肯定位于y轴上）
dA=2(r^2-y^2)^1/2×dy--------------------A为面积
dm=2σ(r^2-y^2)^1/2×dy------------------m为质量 面密度：σ=M/(πr^2/2)
y(质心)=(∫ ydm)/M=[∫ 2yσ(r^2-y^2)^1/2×dy(由0到r)]/M
={[-2/3(r^2-y^2)^3/2](由0到r)}/(πr^2/2)
=4r/3π≈0.42R
所以结果是0.42R.