已知函数f(x)=1/2(a^x-a^-x),求f(x)的反函数和值域

题目

已知函数f(x)=1/2(a^x-a^-x),求f(x)的反函数和值域

答案

先求出反函数
y=1/2(a^x-a^(-x))
(a^x)y=(a^x)*1/2(a^x-a^(-x))(等式两边同时乘以a^x))
a^2x-2y*a^x-1=0
a^x=y+(1+y^2)^(1/2)(因为a^x＞0,负值已舍去)
x*lna=ln(y+(1+y^2) ^(1/2))
x=ln(y+(1+y^2) ^(1/2))/lna
所以f(x)=(a^x-a^(-x))/2的反函数为y=ln(x+(1+x^2) ^(1/2))/lna