f(x)=x+∫0到1(x+t)f(t)dt

题目

f(x)=x+∫0到1(x+t)f(t)dt
求f(x)

答案

∫ (x+t)f(t)dt = x∫0到1f(t)dt +∫0到1tf(t)dt = Ax +B 其中A,B是常数
那么根据题意就有f(x)=x+Ax +B=（A+1）x+B
用f(x)代回上式,Ax +B = x∫0到1 [(A+1)t+B)]dt +∫0到1 t[(A+1)t+B)]dt
=x[ (A+1)/2 +B] + [(A+1)/3 +B/2]
对比系数得 A=(A+1)/2 +B
B=(A+1)/3 +B/2
解得A=-7 B=-4
所以f(x)= -6x -4