已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于AB两点,|AB|=5p／2

题目

已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于AB两点,|AB|=5p／2
求直线AB所在直线的方程

答案

y²=2px的焦点坐标为F(p/2,0),准线x=-p/2
设直线AB：y=k(x-p/2)
与抛物线方程联立
得到k²x²-(pk²+2p)x+p²k²/4=0
∴ xA+xB=(pk²+2p)/k²
利用抛物线的定义(抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离)
|AB|=|AF|+|BF|=xA+p/2+xB+p/2=(pk²+2p)/k²+p=2p+2p/k²
∴ 2p+2p/k²=5p/2
∴ k²=4
即 k=2或k=-2
∴ 方程 y=±2(x-p/2)
即 2x+y-p=0或2x+y-p=0