y'+(a^2)y=sinx求通解

题目

y'+(a^2)y=sinx求通解
a>0

答案

第一步：求对应的齐次方程的通其特征方程的两个根为±ai （i为虚数）
所以通解为 C1*cosax + C2 *sinax (C1、C2为任意常数)
第二步,求特解,当a≠1时,设其特解形式为Acosbx+Bsinbx
代入方程解得：=[1/(a^2-1)]sinx
所以通解为：y= C1*cosax + C2 *sinax + [1/(a^2-1)]sinx
当a=1时,设特解形式为x(Acosbx+Bsinbx)
代入方程解得：=-0.5xcosx
所以通解为：y= C1*cosax + C2 *sinax - 0.5xcosx