若3sinx*2+2siny*2=1 且3(sinx+cosx)*2+2(siny+cosy)*2=1求cos(2x+2y)

题目

若3sinx*2+2siny*2=1 且3(sinx+cosx)*2+2(siny+cosy)*2=1求cos(2x+2y)

答案

3(sinx+cosx)^2+2(siny+cosy)^2=1展开得3(1+sin2x)+2(1+sin2y)=1 即 3sin2x+2sin2y=-4 ①
3sinx^2+2siny^2=1变形得 3(1-cos^2 x)+2(1-cos^2 y)=1
变形得 3[ 1- (cos2x+1)/2] + 2[1- (cos2y+1)/2] = 1 化简得
3cos2x+2cos2y=3 ②
①²+②²得
9(sin^2 2x+cos^2 2x) + 12sin2xsin2y + 12cos2xcos2y + 4(sin^2 2y + cos^2 2y)=25
化简得 12cos(2x-2y)=12 即cos(2x-2y)=1 ,所以有 2x-2y=2nπ（其中n为整数）
在不影响解题情况下,不妨设n=0 即 x = y
所以 代入② 得 5cos2x=3 即 cos2x =3/5
所以cos(2x+2y)=cos(4x)=2cos^2 (2x) -1=-7/25
此题思考两天了,最后还得益于一个朋友的思路.