过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x^2+y^2≤4}分两部分,使这两部分的面积之差最
题目
过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x^2+y^2≤4}分两部分,使这两部分的面积之差最
过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x^2+y^2≤4}分两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线的方程是( )
下面是解析:
设过点P(1,1)的直线与圆分别交于点A,B,且圆被AB所分的两部分的面积分别为S1,S2且S1≤S2
劣弧 AB 所对的圆心角∠AOB=α,则S1=1 /2 α•2^2=2α,S2=4π-2α(0<α≤π)
∴S2-S1=4π-4α
要求面积差的最大值,即求α的最小值,根据直线与圆相交的性质可知,只要当OP⊥AB时,α最小
此时KAB=-1,直线AB的方程为y-1=-(x-1)即x+y-2=0
我的问题是:为什么只要当OP⊥AB时,α最小?
答案
因为,α的越小,弦AB越短,弦AB越短,弦心距OP越长.这个问题就变成了:过点P的直线到点O的距离什么时候最长?答案是当OP⊥AB时,此时弦心距等于OP,除此外,弦心距都小于OP.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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