半径为R的圆的内接矩形的最大周长为_____最大面积为_____

题目

半径为R的圆的内接矩形的最大周长为_____最大面积为_____

答案

设半径为R的圆的内接矩形为ABCD,连接AC,再设角CAB=θ（θ为锐角）
则AC=2R
AB=2Rcosθ,BC=2Rsinθ
矩形周长为L=2（2Rcosθ+2Rsinθ）
=4R（cosθ+sinθ）
=4（√2）R(√2/2sinθ+√2/2cosθ)
=4(√2)Rsin(θ+兀/4)
故当θ=兀/4时,sin(θ+兀/4)=1最大,周长L取最大值4(√2)R
矩形面积为S=4(R^2)sinθcosθ
=2(R^2)sin2θ
故当θ=兀/4时,sin2θ=1最大,面积S取最大值2(R^2)