F1,F2 是椭圆x29+y27=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为 _ .
题目
F
1,F
2 是椭圆
+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF
1F
2=45°,则△AF
1F
2的面积为 ___ .
答案
由题意,可得
∵椭圆的方程为
+=1,
∴a=3,b=
,可得c=
=
,
故焦距|F
1F
2|=2
,
∵根据椭圆的定义,得|AF
1|+|AF
2|=2a=6,
∴△AF
1F
2中,利用余弦定理得
|AF
1|
2+|F
1F
2|
2-2|AF
1|•|F
1F
2|cos45°=|AF
2|
2=|AF
1|
2-4|AF
1|+8,
即(6-|AF
1|)
2=|AF
1|
2-4|AF
1|+8,解之得|AF
1|=
故△AF
1F
2的面积为S=
|AF
1|•|F
1F
2|sin45°=
×
×
2×
=
.
根据椭圆的方程算出a=3、b=
,可得焦距|F
1F
2|=2
,由椭圆的定义得|AF
2|=6-|AF
1|.由此在△AF
1F
2中利用余弦定理解出|AF
1|长,根据正弦定理的面积公式即可算出△AF
1F
2的面积.
椭圆的简单性质.
本题给出椭圆的焦点三角形满足的条件,求三角形的面积.着重考查了椭圆的定义与标准方程、余弦定理和三角形的面积公式等知识,属于中档题.
举一反三
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