高中的椭圆几何题

题目

高中的椭圆几何题
A、B是两个定点,且│AB│=2,动点M到点A的距离为4,线段BM的垂直平分线L交MA于点P.
（1）求点P的轨迹方程
（2）若点P到A、B两点的距离之积为m,当m取最大值时,求点P的坐标.

答案

(1)PM=PB(垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
所以AM=AP+Pm=AP+PB
所以P到A、B的距离之和是定值4,所以P的轨迹是椭圆.
2a=4,a^2=4 c^2=(2/2)^2=1 b^2=3
所以轨迹是x^2/4+y^2/3=1
(2)m=|PA|*|PB| 显然P在短轴的两个定点（0,正负根号3）时有最大值,此时m=a^2＝4