已知a=(1,t),b=（3t,2）,那么a*b/a的绝对值的平方+b的绝对值的平方 的取值范围是?

题目

已知a=(1,t),b=（3t,2）,那么a*b/a的绝对值的平方+b的绝对值的平方 的取值范围是?
A.(负无穷,2根号2】 B.[2根号2,正无穷）
C.[ -根号2/4,根号2/4] D.[0,根号2/4]

答案

a=(1,t),b=(3t,2)
a*b=3t+2t=5t
|a|^2=1+t^2,|b|^2=9t^2+4
所以a*b/(|a|^2+|b|^2)=5t/(1+t^2+9t^2+4)=5t/(10t^2+5)=t/(2t^2+1)=1/(2t+1/t)
当t＜0时2t+1/t=-[(-2t)+(-1/t)]≤-2√[(-2t)*(-1/t)]=-2√2
当t＞0时2t+1/t≥2√[(2t)*(1/t)]=2√2
所以2t+1/t∈(-∞,-2√2]∪[2√2,+∞)
故它的倒数1/(2t+1/t)∈[-√2/4,√2/4]
即a*b/(|a|^2+|b|^2)∈[-√2/4,√2/4]
所以选C
如果不懂,请Hi我,祝学习愉快!