已知一扇形的中心角为α,所在圆的半径为R若扇形的周长一定是c(c>0),当α为多少弧度时,

题目

已知一扇形的中心角为α,所在圆的半径为R若扇形的周长一定是c(c>0),当α为多少弧度时,
该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值.
所在圆的半径为R若扇形的周长是一定值c，

答案

扇形的周长为:
2R+(α/2π)*2πR=R(2+α)=c
所以 α=(c/R)-2
扇形的面积为:
πR^2(α/2π)
=αR^2/2
=(c/R)-2)R^2/2
=(cR-2R^2)/2
=-2(R^2-cR/2)/2
=-(R^2-cR/2)
=-(R-c/4)^2+c^2/16
所以当R=c/4时有最大值c^2/16
此时
α=(c/R)-2
=(c/(c/4))-2
=2
所以当α=2时,扇形的面积有最大值c^2/16