已知向量OA=（-1,2）,向量OB=（1,3）,向量OC=（3,m) 问：若点A B C 能够成三角形,求实数m应满足的条件.

题目

已知向量OA=（-1,2）,向量OB=（1,3）,向量OC=（3,m) 问：若点A B C 能够成三角形,求实数m应满足的条件.

答案

　　分析：（1）因为A,B,C能构成三角形,所以向量
AB、
BC不共线．算出向量
AB、
BC的坐标,根据向量共线的条件列式,解之即可得到实数m应满足的条件；
（2）由向量
AB与
BC垂直,列出关于m的方程,解之得m=-1．进而得到向量
CA、
CO的坐标,利用向量的夹角公式进行计算,即可得到∠ACO的余弦值．　　（1）∵OA=（-1,2）,OB=（1,3）,OC=（3,m）．
∴AB=OB-OA=（2,1）,BC=OC-OB=（2,m-3）
∵点A,B,C能构成三角形,
∴向量AB、BC不能共线,得2（m-3）≠1×2,所以m≠4,
即m满足的条件是m≠4
（2）∵AB=（2,1）,BC=（2,m-3）且△ABC是以B为直角顶点的直角三角形
∴AB•BC=2×2+1×（m-3）=0,解得m=-1
可得OC=（3,-1）,
∴CA=OA-OC=（-4,3）,CO=-OC=（-3,1）,
此时,cos∠ACO=CA•
CO|
CA|•|
CO|=-4×(-3)+3×1(-4)2+(-3)2×
32+12=3
1010,
∴∠ACO的余弦值等于3
1010．