在三角形ABC中,M是B,C的中点,三角形AMC的三边是连续的三个整数且tanC=cotBAM

题目

在三角形ABC中,M是B,C的中点,三角形AMC的三边是连续的三个整数且tanC=cotBAM
在三角形ABC中M是bc中点 三角形abc的三边是连续的三个整数且tanC=cot∠BAM
(1)判断三角形的形状
(2)求cosA

答案

（I）设∠BAM=α,∠MAC=β,
则由tanC=cotα得α+C=90°∴β+B=90°
△ABM中,由正弦定理得BMsinα=AMsinB,即sinBsinα=AMMB.
同理得sinCsinβ=AMMC,
∵MB=MC,∴sinBsinα=sinCsinβ,
∴sinαsinC=sinβsinB∵α+C=90°,β+B=90°,∴sinαcosα=sinβcosβ
即sin2α=sin2β,∴α=β或α+β=90°
当α+β=90°时,AM=12BC=MC,
与△AMC的三边长是连续三个正整数矛盾,
∴α=β,∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形．
（II）在直角三角形AMC中,设两直角边分别为n,n-1,斜边为n+1,
由（n+1）2=n2+（n-1）2得n=4,
由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=7/25.
或cos∠BAC=-7/25.