若圆C的半径为3,单位向量e所在的直线与圆相切于定点A,点B是圆上的动点,则e•AB的最大值为_.
题目
若圆C的半径为3,单位向量
所在的直线与圆相切于定点A,点B是圆上的动点,则
•的最大值为______.
答案
设
,的夹角为θ
过C作CM⊥AB,垂足为M,则AB=2AM
由过点A的直线与圆相切,结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ
∵在直角三角形AMC中,由三角函数的定义可得,sin∠ACM=
sinθ=∴AM=3sinθ,AB=6sinθ
∵
•=|
||
|cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3
当sin2θ=1即θ=45°时取等号
故答案为:3
设
,的夹角为θ,过C作CM⊥AB,则AB=2AM,然后结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ,再利用三角函数的定义可用θ表示AM,代入向量的数量积的定义
•=|
||
|cosθ,最后由二倍角公式及正弦函数的性质即可求解
向量在几何中的应用.
本题主要考查了向量的数量积的定义,弦切角定理及三角函数的定义的综合应用,试题具有一定的灵活性
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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