已知ad≠bc,求证﹙a²＋b²﹚﹙c²＋d²﹚＞﹙ac＋bd﹚²

题目

已知ad≠bc,求证﹙a²＋b²﹚﹙c²＋d²﹚＞﹙ac＋bd﹚²

答案

此为柯西不等式
(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2
>(ac+bd)^2