等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,P是△ABC内的一点,且PA:PB:PC=1:2:3,求∠APC的度数.

题目

等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,P是△ABC内的一点,且PA:PB:PC=1:2:3,求∠APC的度数.

答案

解法：
过P点分别作AB和AC的垂线交AB于D,交AC于E,并设 PE=x；
则：PE=AD=x
AE=PD=√4-x^2
CE=√1-x^2
BD=√5+x^2
∴AB=AD+BD=x+√5+x^2
AC=AE+CE=√4-x^2+√1-x^2
又∵AB=AC
∴x+√5+x^2=√4-x^2+√1-x^2
解之得：
x^2=0.92094或0.25553
∴AC=AE+CE=√4-x^2+√1-x^2=2.035901或2.79789
再根据余弦定理：c^2=a^2+b^2-2a*b*cosC
求出∠APC=77.656度 或 134.995