求值域 （1)y=2sin(x/2+π/4)x∈[0,π) (2)y=2cosx-sin^2x+3 x∈[-π/3,2/3π]

题目

求值域 （1)y=2sin(x/2+π/4)x∈[0,π) (2)y=2cosx-sin^2x+3 x∈[-π/3,2/3π]

答案

第一个问题：
∵x∈［0,π）,∴x/2∈［0,π/2）,∴x/2＋π/4∈［π/4,3π/4）,
∴√2/2≦sin（x/2＋π/4）≦1.
∴函数的值域是［√2/2,1］.
第二个问题：
∵y
＝2cosx－（sinx）^2＋3＝2cosx－1＋（cosx）^2＋3＝（cosx）^2＋2cosx＋2
＝1＋［（cosx）^2＋2cosx＋1］＝1＋（1＋cosx）^2.
又x∈［－π/3,2π/3］,∴－1/2≦cosx≦1,1/2≦1＋cosx≦2,∴1/4≦（1－cosx）^2≦4,
∴5/4≦1＋（1＋cosx）^2≦5.
∴函数的值域是［5/4,5］.