如图,四边形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°. (1)求证:AC∥DE;(2)过点B作BF⊥AC于点F,连接EF,试判别四边形BCEF的形状,并说明理由.
题目
如图,四边形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°.
(1)求证:AC∥DE;
(2)过点B作BF⊥AC于点F,连接EF,试判别四边形BCEF的形状,并说明理由.
答案
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,
∵∠EDC=∠CAB,
∴∠EDC=∠ACD,
∴AC∥DE;
(2) 四边形BCEF是平行四边形.
理由如下:
∵BF⊥AC,四边形ABCD是矩形,
∴∠DEC=∠AFB=90°,DC=AB
在△CDE和△BAF中,
,
∴△CDE≌△BAF(AAS),
∴CE=BF,DE=AF(全等三角形的对应边相等),
∵AC∥DE,
即DE=AF,DE∥AF,
∴四边形ADEF是平行四边形,
∴AD=EF,
∵AD=BC,
∴EF=BC,
∵CE=BF,
∴四边形BCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
(1)要证AC∥DE,只要证明,∠EDC=∠ACD即可;
(2)要判断四边形BCEF的形状,可以先猜后证,利用三角形的全等,证明四边形的两组对边分别相等.
矩形的性质;平行线的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定.
本题所考查的知识点:三角形全等、平行四边形的判定,矩形的性质;综合性好,难度中等.
举一反三
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