如果e^(-x)是f(x)的一个原函数,求∫x f(x) dx

题目

如果e^(-x)是f(x)的一个原函数,求∫x f(x) dx

答案

e^(-x)是f(x)的一个原函数
则[e^(-x)]'=f(x)=-e^(-x)
所以∫x f(x) dx
=∫-xe^(-x)dx
是用分部积分
=∫xe^(-x)d(-x)
=∫xde^(-x)
=xe^(-x)-∫e^(-x)dx
=xe^(-x)+∫e^(-x)d(-x)
=xe^(-x)+e^(-x)+C